Mnohočleny

Mnohočlen alebo polynóm n-tého stupňa je algebraický výraz v tvare:

P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2 \cdot x^2+a_1\cdot x+a_0

kde a_i sú číselné konštanty a x je premenná. Exponenty pri premennej sú prirodzené čísla, konštanty sú reálne čísla a a^n\neq 0.

Poznámka: termín polynóm pochádza z gréčtiny, kde poly je mnoho a nóm je člen.

Polynóm je napríklad: 3x^2+1 alebo 7x^3+x^2-1

Polynóm môže obsahovať aj viacero premenným napríklad:

R(x,y)=3x^2y+2xy+y^2-1

V polynóme P(x) môžeme jednotlivým členom priradiť tieto názvy:

  • a_0\,\, – absolútny člen
  • a_1x\, – lineárny člen
  • a_2x^2 – kvadratický člen
  • a_3x^3 – kubický člen
  • a_4x^4 – člen štvrtého stupňa
  • a_nx^n – člen n-tého stupňa

Opačný mnohočlen k mnohočlenu je taký mnohočlen, ktorý má opačné koeficienty v jednotlivých členoch. K mnohočlenu 3x^2-2x+1 je opačný mnohočlen -3x^2+2x-1

Príklad 1: Upravte daný výraz, určte stupeň mnohočlena a jeho koeficienty:

(n-3)^2-(n^2+1)^2+2(n+1)^2=n^2-6n+9-n^4-2n^2-1+2n^2+4n+1=

-n^4+n^2-2n+10

Mnohočlen je štvrtého stupňa a jeho koeficienty sú:

a_4=-1, \, a_3=0,\, a_2=1,\, a_1=-2,\, a_0=10

Všimnite si, že som uviedol aj koeficient a_3, ktorý síce v mnohočlene nebol uvedený, ale implicitne tam bol, lebo 0n^3=0.

Príklad 2: Určite stupeň mnohočlena a absolútny člen z výrazu:

(-2x^2+x+6)\cdot (2x^5-1)\cdot (5x^2-2x+7)

Napohľad vyzerá úloha zložito, ak by sme mali upraviť výraz na mnohočlen násobili by sme tri členy dvoma členmi a potom 6 členov 3 členmi. Spolu 24 operácií. Našou úlohou je ale určiť stupeň mnohočlena a absolútny člen. Stupeň mnohočlena určíme násobením mocnín najväčších stupňov v jednotlivých činiteľoch a absolútny člen násobením absolútnych členov činiteľov, dostaneme: x^2\cdot x^5\cdot x^2=x^{2+5+2}=x^9

a 6\cdot (-1) \cdot 7=-42

Odpoveď: Mnohočlen je 9 stupňa a jeho absolútny člen je -42.

Pri násobení mnohočlenov využívame komutatívny a distributívny zákon:

  • a\cdot b=b\cdot a
  • a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c alebo (a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+ b\cdot c+ b\cdot d

Koreň polynómu je číslo k, pre ktoré platí P(k)=0 (namiesto x dosadíme koreň a hodnota polynómu vyjde rovná nule).

Príklad 3: Určte koreň polynómu x+3.

Riešenie: riešime lineárnu rovnicu x+3=0

x=-3

Príklad 4: Určte koreň polynómu x^2-4

Riešenie a): x^2-4=(x+2)\cdot (x-2) Súčin je rovný nule, ak jeden z činiteľov je rovný nule. Potom má polynóm dva korene: x_1=-2, x_2=2

Riešenie b): K obom stranám pripočítame 4. Dostaneme x^2=4

x_1=\sqrt{4}=2,\, x_2=-\sqrt{4}=-2

Polynóm, ktorý má všetky koeficienty nulové nazývame nulový polynóm.

P(x)=0. Takýto polynóm nemá žiaden stupeň.

Polynóm nultého stupňa je polynóm, ktorý má len absolútny člen, ktorý je nenulový.

Zdroje:

  • Pri písaní článku som použil tento článok. Doporučujem ho na samostatné štúdium.
  • Matematicky presné vyjadrenie mnohočlenov nájdete na Wikipédii.
print

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *