Kosínusová veta

Majme trojuholník ABC, z vrcholu C veďme výšku na stranu c, ako ilustruje obrázok vpravo. Výška $v_c$ rozdelila trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky $\bigtriangleup AC_0C$ a $\bigtriangleup BC_0C$ .

Pre oba trojuholníky platí Pytagorova veta:

$b^2=x^2+v_c^2$

$v_c^2=b^2-x^2$

$a^2=y^2+v_c^2$

$v_c^2=a^2-y^2$

$c=x+y, \, y=c-x, \, y^2=c^2-2cx+x^2$

$cos\, \alpha=\dfrac{c}{b}, \, x=b\cdot cos\, \alpha$

Strana $v_c$ je spoločná strana trojuholníkov a vyjadrili sme ju v tvare $b^2-x^2$ a $a^2-y^2$ , potom platí:

$b^2-x^2=a^2-y^2$

$b^2-x^2=a^2-c^2+2cx-x^2$

$b^2=a^2-c^2+2cb \cdot cos \, \alpha$

$a^2=b^2+c^2- 2cb \cdot cos \, \alpha$

Tak isto by sme podobný vzťah dokázali pre strany b a c.

Kosínusová veta

$a^2=b^2+c^2- 2bc \cdot cos \, \alpha$

$b^2=a^2+c^2- 2ac \cdot cos \, \beta$

$c^2=a^2+b^2- 2ab \cdot cos \, \gamma$

Všimnite si posledný vzorec! Ak by $\gamma$ bol pravý uhol, kosínus gama by bol rovný nule a kosínusová veta sa zmení na Pytagorovu vetu. Pytagorova veta je špeciálny prípad kosínusovej vety.

Príklad:

Trojuholník $\bigtriangleup ABC$ má strany a=8 cm, b=7 cm a c=11 cm. Aké veľké sú uhly $\alpha, \, \beta, \, \gamma$ ?

Pri riešení využijeme kosínusovú vetu.

$a^2=b^2+c^2- 2bc \cdot cos \, \alpha$

$cos \, \alpha = \dfrac{b ^2 +c ^2 -a ^2 }{2bc}= \dfrac{7 ^2 +11 ^2 -8 ^2 }{2 \cdot 7 \cdot 11}$

Zdroje:

Obrázok a časť textu sú prevzaté a upravené z wikipédie

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.

Pridaj komentár Zrušiť odpoveď