október 2020

Uhol

V aplikácii Microsoft Team v skupine Matematika 6 máte uloženú prezentáciu, ktorú som vám premietal počas online hodiny.

Uhol je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami, ktoré majú spoločný počiatok.

Polpriamky sa nazývajú ramená uhla.

Vrchol uhla je spoločný počiatok polpriamok.

Označenie uhla

  1. Pomocou troch bodov a schematickej značky uhla, kde bod B (bod v strede) je vrcholom uhla a polpriamky BA a BC sú jeho ramená:
    \sphericalangle ABC
  2. Pomocou malých písmen gréckej abecedy:
    alfa – \alpha beta – \beta gama – \gamma delta – \delta

Veľkosť uhla

Celý kruh má 360 stupňov. Jeden stupeň je potom jedna tristošesdesiatina kruhu. Ak picu rozrežeme na 6 rovnakých dielov, tak rovné okraje dielu, ktorý dostaneme, budú mať 60 stupňov. Značka pre stupeň je ^\circ.

Stupne sa ďalej delia na minúty, podobne ako hodina má 60 minút, aj stupeň má 60 minút, nazývame ju uhlová minúta, alebo len minúta – z kontextu (situačných okolností) by malo byť zrejmé, či hovoríme o minúte ako jednotke času alebo o uhlovej minúte. Ak však napríklad na fyzike budem skúmať nejaký dej, kde sa uhol mení s časom, musíme explicitne (priamo, otvorene) povedať uhlová minúta. Uhlové minúty sa ďalej delia na uhlové sekundy. Jedna uhlová minúta má 60 uhlových sekúnd.

Zememerač a jeho traja pomocníci

Značka pre uhlovú minútu je ‚ a značka pre uhlovú sekundu je “.  My na hodinách geometrie s minútami a sekundami pracovať nebudeme pri zostrojovaní uhlov, lebo nemáme také presné uhlomery, budeme s nimi nanajvýš počítať. V astronómii a v zememeračstve sa však s uhlovými minútami a sekundami pracuje. 

Druhy uhlov

Podľa veľkosti delíme uhly na:

  • nulový uhol – veľkosť uhla je 0^\circ
  • ostrý uhol – veľkosť uhla je viac ako 0^\circ a menej ako 90^\circ
  • tupý uhol – veľkosť uhla je viac než 90^\circ a menej než 180^\circ
  • priamy uhol – veľkosť uhla je 180^\circ
  • vypuklý uhol – veľkosť uhla je väčšia ako 180^\circ a menšia ako 360^\circ
  • plný uhol – veľkosť uhla je rovná 360^\circ

Elektrický odpor pri sériovom a paralelnom zapojení

Tu pribudne video, kde budú merania prúdu prechádzajúceho obvodom, ak budeme mať dva rezistory zapojené samostatne a potom za sebou a vedľa seba. Tiež tu pribudne tabuľka nameraných hodnôt prúdu a napätia a z nich vypočítaných hodnôt elektrického odporu.

Z meraní vyplynú nasledujúce závery:

Sériové zapojenie

Keď zapojíme dva rezistory s odpormi R_1, R_2 do série (za sebou), výsledný odpor je súčtom jednotlivých odporov. R=R_1+R_2.

Paralelné zapojenie

Keď ich zapojíme paralelne (vedľa seba ), výsledný prúd je súčtom prúdov, ktoré by pretekali v samostatných obvodoch. I=I_1+I_2

Prúd možno vyjadriť ako podiel napätia a odporu: \cfrac{U}{R}=\cfrac{U}{R_1}+\cfrac{U}{R_2}

po predelení ľavej a pravej strany U, dostaneme: \cfrac{1}{R}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}

Vynásobme obe strany R.R_1.R_2. Dostaneme: R_1.R_2=R.R_2+R.R_1

to možno upraviť na tvar: R_1.R_2=R.(R_2+R_1) po predelení R_1+R_2 dostaneme:

R=\cfrac{R_1.R_2}{R_1+R_2} \,(4)

Aký bude výsledný odpor, ak zapojíme paralerne dva rovnaké odpory?

R_1=R_2 po dosadení do vzorca (4) dostaneme R=\cfrac{R_1.R_1}{R_1+R_1}

R=\cfrac{1}{2}.R_1

Výsledný odpor bude polovičný, než je odpor dvoch rovnakých rezistorov.

Prečo sa žiarovka obvykle „prepáli“ pri zapnutí a výnimočne počas svietenia?

Odpor kovového vodiča rastie s rastúcou teplotou. Keď je vlákno žiarovky studené, má výrazne nižší odpor, než keď je žeravé. Začne ním pretekať výrazne väčší prúd, než keď je žeravé, tento prúd vlákno prudko ohreje, pričom dochádza k mechanickému pnutiu, ktoré vlákno môže narušiť. Tiež sa vlákno lokálne môže zahriať na vyššiu teplotu, než je teplota topenia a vlákno „prepáli“.

Poznámka: Prepáli som dal do úvodzoviek, pretože tu nedochádza k horeniu, ale buď sa vlákno pretrhne alebo sa roztaví. Hovorovo však hovoríme, že sa žiarovka, poistka, … prepálila.

Geometrická optika

Geometrická optika alebo optika lúčov je oblasť fyziky, ktorá popisuje optické javy geometricky, zanedbávajúc vlnovú podstatu svetla.

Je založená na nasledujúcich princípoch:

  • princíp priamočiareho šírenia svetla
  • princíp vzájomnej nezávislosti lúčov
  • princíp zameniteľnosti chodu lúčov
  • zákon odrazu
  • zákon lomu

Princíp priamočiareho šírenia svetla

Svetlo sa v homogénnom (rovnorodom) prostredí šíri priamočiaro.
Ak máme veľmi malý zdroj svetla (bodový zdroj svetla) uzavretý v nepriehľadnej schránke, na ktorej je kruhový otvor, svetlo uniká iba týmto otvorom a vytvára svetelný kužeľ, ako je na obrázku hore, tento svetelný kužeľ môžeme vidieť, pokiaľ sú vo vzduchu drobné prachové častice. Ak do kužeľa vložíme tienidlo, kolmo na os kužeľa, zobrazí sa na tienidle kruh, ten je tým väčší, čím sme ďalej od zdroja svetla a čím je otvor na schránke väčší.

Princíp nezávislosti lúčov

Svetelné lúče prechádzajú prostredím tak, akoby ostatné lúče neexistovali.

Princíp zámeny chodu lúčov

Ak sa svetelný lúč šíri z bodu A do bodu B, potom sa môže šíriť z bodu B do bodu A a to po tej istej dráhe.

Zákon odrazu

Uhol odrazu sa rovná uhlu dopadu.

Zákon lomu

Keď svetelný lúč prechádza z jedného prostredia do druhého, tak sa lúč zlomí podľa nasledujúceho vzťahu:
\dfrac{sin, \alpha _1}{sin, \alpha_2}=\dfrac{sin, v_1}{v_2}=\dfrac{n _2}{n_1}

Kde \alpha _1 je uhol dopadu, \alpha _2 je uhol lomu, v_1 je rýchlosť svetla v prvom prostredí, v_2 rýchlosť svetla v druhom prostredí a n_1, n_2 sú relatívne indexy lomu prvého a druhého prostredia.

Znamienková konvencia

  • Predmetová vzdialenosť je kladná pred šošovkou, záporná za šošovkou.

Prvočísla a zložené čísla

Číslo p je deliteľom čísla n, ak číslo n možno zapísať, ako súčin čísla p a nejakého čísla q: n=p \cdot q

Aj číslo q je deliteľom čísla n, ak je q>0.

Možno to vyjadriť aj inak: Číslo p je deliteľom čísla n , ak ho delí bezo zvyšku.

Rozpíšme všetky možné vyjadrenia čísel od 1 do 20, ako súčinu dvoch čísel:

\textcolor{blue}{1=1 \cdot 1}\textcolor{green}{11=1 \cdot 11}
\textcolor{green}{2=1 \cdot 2}12=1 \cdot 12=2 \cdot 6
\textcolor{green}{3=1 \cdot 3}\textcolor{green}{13=1 \cdot 13}
4=1 \cdot 4=2 \cdot 214=1 \cdot 14=2 \cdot 7
\textcolor{green}{5=1 \cdot 5}15=1 \cdot 15=3 \cdot5
6=1 \cdot 6=2 \cdot 316=1 \cdot 16=2 \cdot 8=4 \cdot 4
\textcolor{green}{7=1 \cdot 7}\textcolor{green}{17=1 \cdot 17}
8= 1\cdot 8=2 \cdot 418=1 \cdot 18=2 \cdot 9=3 \cdot 6
9=1 \cdot 9=3 \cdot 3\textcolor{green}{19=1 \cdot 19}
10=1 \cdot 10=2 \cdot 520=1 \cdot 20=2 \cdot 10=4 \cdot 5

Zelenou farbou som označil čísla, ktoré majú iba dva delitele. Čiernou farbou sú napísané čísla, ktoré majú viac než dva delitele. Modrou farbou som označil číslo 1, ktoré má len jedného deliteľa.

Prvočíslo je číslo, ktoré má dva delitele jednotku a samé seba.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac než dva delitele.

Veta: Číslo dva je jediné párne prvočíslo.

Dôkaz: Ak by číslo n bolo párne číslo väčšie ako dva, tak by malo delitele 1 a samé seba a navyše aj číslo 2.

Veta: Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.

Dôkaz: Ak je n zložené číslo, možno ho vyjadriť ako súčin dvoch čísel väčších ako 1. n=p \cdot q. Tieto čísla sú buď prvočísla, alebo sú to znova zložené čísla. Ak sú to zložené čísla, možno ich vyjadriť ako p=p_1 \cdot p_2 a q=q_1 \cdot q_2. Tieto nové činitele sú aspoň dvakrát menšie, než pôvodné. Po konečnom počte krokov, dospejeme k číslu 2, ktoré je prvočíslom, alebo to už neboli zložené čísla.

Využitie prvočísel

  • V súčasnosti sa prvočísla využívajú hlavne v kryptografii. Kryptografia je veda o šifrovaní a dešifrovaní. Ak máme zložené číslo, ktoré je súčinom dvoch veľmi veľkých prvočísel, dá sa správa zakódovať verejným kľúčom, ale dekódovať sa dá len súkromným kľúčom. Aj veľmi výkonné počítače pri dostatočnej veľkosti prvočísel by pracovali desiatky či stovky rokov, kým by odhalili súkromný kľúč.
  • V informatike sa prvočísla používajú v hashovacích tabuľkách. Je to také ukladanie informácií, aby sme veľmi rýchlo našli informácie v databáze.
  • V matematike možno pomocou prvočísel hľadať dokonalé čísla.
    Dokonalé číslo je číslo, ktorého súčet vlastných deliteľov je rovný dokonalému číslu. Napríklad:
    6 má vlastné delitele 1,2,3 a 6=1+2+3
    28=1,2,4,7,14 a 28=1+2+4+7+14
    Vlastný deliteľ je taký deliteľ, ktorý je menší než číslo ktoré delíme.
    Starí Gréci prikladali dokonalým číslam magické vlastnosti.

Šošovky

Šošovka je homogénne izotropné prostredie, ohraničené dvoma guľovými plochami alebo guľovou plochou a rovinou. Je to predmet z priehľadného materiálu slúžiaci v optike alebo v iných prípadoch na ovplyvnenie šírenia svetla v širšom zmysle, t. j. viditeľného svetla, infračerveného a ultrafialového žiarenia.

Šošovky sú najčastejšie sklenené, ale na ich výrobu sa bežne používajú aj plasty. Materiál šošovky je charakterizovaný indexom lomu, ktorý je vždy väčší ako jedna, a indexom absorpcie, ktorý je pre vlnové dĺžky v rozsahu použiteľnosti šošovky blízky nule. Najjednoduchší opis šírenia lúčov šošovkou poskytuje geometrická optika. Ak je hrúbka šošovky vzhľadom na polomery jej guľových plôch zanedbateľná (d<<r), potom hovoríme, že šošovka je tenká.

Najstaršia zmienka o šošovke pochádza z Aristofanovej divadelnej hry Oblaky, kde vystupovala ako zapaľovacie sklíčko.

Druhy šošoviek

Základné delenie šošoviek vychádza z toho, či šošovka rovnobežné lúče spája alebo rozptyľuje.

  • spojky – lúče spájajú
  • rozptylky – lúče rozptyľujú

Na obrázku v pravo sú rôzne tvary šošoviek. Šošovky 1 až 3 sú spojky, 4 až 5 rozptylky.

Spojka (spojná šošovka, konvexná šošovka)

Spojka je uprostred hrubšia ako na okrajoch a má aspoň jeden vypuklý povrch. Na obrázku v pravo je ukážka, ako prechádzajú vodorovné lúče šošovkou.

Zdroje:

  • Časť textu je prevzatá zo slovenskej wikipédie
  • Obrázky sú prevzaté z wikipédie